Android 4.4 KitKatでAdobe Flashを再生する方法がxda-developers（via Phone Arena）にて公開されています。
デスクトップモードでYouTubeを再生したところ
手順は、「Dolphin Browser」と「Dolphin Jetpack」をGoogle Play Storeからインストールし、上記リンクにある改造されたFlash Playerをインストールします。「Dolphin Jetpack」はFlashの動作安定のために使います。
続いて「Dolphin Browser」の設定 - ページ内容設定 - プラグインを有効にする（英語表示ではSettings - Web Content - Flash Player）で「常にオン」か「オンデマンド」を有効にします。
なお、この方法でFlashを再生できるのは「Dolphin Browser」だけです。Chromeなど他のブラウザでは利用できません・
Google Play Store以外からアプリをインストールするので、自己責任でお願いします。Google Play Store以外のアプリをインストールできるようにするには設定にあるセキュリティを変更します。
（上記リンクからダウンロードしインストールしたFlash Player11.1）
手持ちのNexus7（2013）で試したところ、ユーザーエージェントをデスクトップにしYouTubeを再生できました。しかし、上記リンク先でできたとあるHuluの動画再生はできませんでした。
xda-developersのフォーラムではNexus7（2013）やNexus5でも動作したという報告がいくつか挙がっていますが、すべてのFlashが見れるわけではないと思います。
追記：公式のやり方ではないので、あくまで必要な方のみリスクを承知の上でお試しください。
Nexus 7（2013）
Android4.4 KitKatでAdobe Flash Playerを有効にする方法
